Lagrange Funktion - Methode

Die Lagrange Funktion - Methode benutzt man um Ableitungen von Funktionen mit Nebenbedingungen zu vollführen und deren Extremwerte zu ermitteln.

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Die Lagrangefunktion setzt sich aus der Urfunktion (hier f(x1,x2)) und der Nebenbedingung λ(x1,x2).

λ stellt das Lambda dar, oder auch Lagrangemultiplikator.

Die Lagrangefunktion L(x1,x2,λ) sieht also wie folgt aus:

L=f(x1,x2)+ λg(x1,x2).

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Der Vorteil von Lagrange / Lagrangefunktion

ist darin, dass der fiktive Punkt

x1E,x2E,λE in der L Funktion einen Extremwert darstellen,

die Punkte x1E und x2E in der Urfunktion unter Beachtung der Nebenbedingung die notwendige Bedingung darstellen.

Sprich man hat eine Kandidaten für einen möglichen Extremwert.

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Ein Beispiel:

Gesucht werden die Extremwerte der Funktion y=f(x1,x2,x3)= 2x1²+2x2²+2x3²

unter der Bedingung das x1+x2=3 und x2-x3=3

Man bildet also zuerst die Lagrangefunktion

L(x1,x2,x3,λ1,λ2,λ3)= f(x1,x2,x3)+ λ1g1(x1,x2,x3)+λ2g2(x1,x2,x3)

Da die Funktion 2 Nebenbedingungen hat wird auch der λ 2x an die Urfunktion gehängt.

--> 2x1²+2x2²+2x3²+ λ1(3-x1-x2) +λ2(2-x2+x3)

Die λ1 und λ2 werden so dargestellt, dass diese immer 0 ergeben, daher ist eine Umformung der Nebenbedingung von notwendig.

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Im Anschluss werden alle 5 Ableitungen gebildet.

1. Lx1= 4x1-λ1=0

2. Lx2=4x2-λ1-λ2=0

3. Lx3=4x3+λ2=0

4. Lλ1= 3-x1-x2=0

5. Lλ2=3-x2+x3=0

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Aus 1. folgt das λ1=4x1

Aus 3. folgt das λ2=-4x3

Diese setzt man in 2. ein

--> 4x2-4x1-(-4x)    / 4

--> x2-x1+x2=0

Aus 4. folgt das x1= 3-x2

Aus 5. folgt das x3= -3+x2

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Diese Folgerungen werden nun in die neue gebildet Ableitung

x2-x1+x2= 0 eingesetzt und ergeben

x2-(3-x2)+(-3+x2)=0

Nach x2 aufgelöst

--> x2=2

Nun erhält man durch einsetzen in die anderen Funktionen

x1=1 / x3=-1 / λ<=4 / λ2=4

Der Kandidat für einen eventuellen Extremwert ist also (1,2,-1)

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Auf eine Berechnung der hinreichenden Bedingungen wird hier verzichten, da in der Wirtschaftswissenschaft oft aus dem Sachverhalt schon klar wird ob es sich um einen Extremwert handelt oder nicht.

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