Kettenregel

Was ist die Kettenregel:

Bei der Kettenregel handelt es sich um eine mathematische Regel, welche in der Differentialrechnung beachtet werden muss. Sie dient dazu, verkettete Funktionen ableiten zu können. Dabei können beliebig viele Verkettungen auftreten, der Kern der Kettenregel reicht völlig aus, um die korrekte Ableitung finden zu können. Funktionen mit überdurchschnittlich vielen Verkettungen sind dennoch sehr kompliziert abzuleiten, weil man sich sehr konzentrieren muss, um nicht den Faden zu verlieren.

Wie funktioniert die Kettenregel:

Die Kettenregel besagt, dass man eine verkettete Funktion ableiten kann, indem man zuerst die sogenannte innere Ableitung und anschließend die äußere Ableitung bildet. Sie wird benötigt, wenn beispielsweise eine an sich schon komplette Funktion von einer Klammer umschlossen wird, um die sich weitere Faktoren oder Polynome befinden.

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Eine solche Funktion ist beispielsweise:

f(x) = 3 + (3x - 2)²

Wenn man diese nun als eine Verkettung von u(v) und v(w) betrachtet, lässt sie sich folgendermaßen aufteilen:

u(v) = 3 + v²

v(w) = 3w - 2

Dies sind zwei eigenständige Funktionen, welche bei einer Verkettung die oben stehende Funktion f(x) ergeben. Diese entspricht also der Funktion u(v(w)). Man erhält sie, indem man v(w) für das v in u(v) einsetzt. Danach muss lediglich noch der Variablenname angeglichen werden, und man hat eine verkettete Funktion.

Die folgende Rechnung dient zur Veranschaulichung, stellt aber keine mathematisch korrekte Schreibweise dar:

v(w) wird eingefügt in u(v):

u(v) = 3 + (v(w))² , also
u(v) = 3 + (3w - 2)²

Nun werden noch die Variablen angeglichen (die folgenden Schreibweisen sind wieder mathematisch korrekt):

f(x) = 3 + (3x - 2)²

Um solch eine Funktion nun abzuleiten, muss man sie geistig wieder in die zwei ursprünglichen Funktionen unterteilen. Es müssen nämlich die innere Ableitung (in diesem Fall also die von 3v - 2) und auch die äußere Ableitung (hier 3 + v²) gebildet werden.

Die Ableitungen der Teilfunktionen wären hier:

u'(v) = 2v
v'(w) = 3

Die gesamte Funktion f(x) muss nun abgeleitet werden, indem man die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung multipliziert. Dabei ist es wichtig zu beachten, dass in der Klammer der äußeren Ableitung die originale innere Funktion stehen bleibt. In diesem Falle wäre es also:

f'(x) = 3 * 2 * (3x - 2)
f'(x) = 6 * (3x - 2)
f'(x) = 18x - 12

Hierbei handelt es sich bei 3 um die innere Ableitung, während 2 * (3x - 2) die äußere Ableitung ist. Wie hier zu sehen, bleibt in der Klammer wie gesagt die innere Funktion stehen. Besonders hier treten häufig Fehler auf, daher sollte man die Kettenregel stets im Kopf behalten, um korrekte Ergebnisse zu erhalten. Analog lassen sich auch die weiteren Ableitungen bilden.

Beispiel 1:

f(x) = 5 * (6x + 1)³

äußere Funktion und deren Ableitung:

u(v) = 5v³
u'(v) = 15v²

innere Funktion und deren Ableitung:

v(w) = 6w + 1
v'(w) = 6

Daraus ergibt sich:

f'(x) = 6 * 15 * (6x + 1)²
f'(x) = 90 * (6x + 1)²

Die zweite Ableitung würde hier entsprechend lauten:

f''(x) = 6 * 180 * (6x + 1)

Denn:
Wenn p'(r) = 90r², dann ist p''(r) = 180r
Wenn r'(s) = 6s + 1, dann ist r''(s) = 6

Weiter umgeformt ergibt sich dann folgendes Ergebnis für die zweite Ableitung:

f''(x) = 1080 * (6x + 1)
f''(x) = 6480x + 1080

In dem folgenden Beispiel tritt eine mehrfache Verkettung auf. Diese trifft man eher selten an, sie sind meist besonders schwierig zu lösen. Dies ist ein recht einfach verständliches Beispiel. Die Kettenregel wird hier wie gewohnt angewendet, es ist lediglich zu beachten, dass auch die innere Funktion eine weitere innere Funktion besitzt, zu der sie als äußere Funktion fungiert. Es gilt also:

f(x) = t(u(v(w)))

Beispiel 2 (hierbei entspricht W| dem Wurzelzeichen):

f(x) = 4 * W|(2x² - 4)

äußere Funktion und deren Ableitung:
t(u) = 4 * W|(u)
t'(u) = 2 / W|(u)

innere Funktion und deren Ableitung:
u(v) = v - 4
u'(v) = 1

innere Funktion der inneren Funktion und deren Ableitung:
v(w) = 2w²
v'(w) = 4w

Insgesamt ergibt sich also:
f'(x) = 4x * 1 * 2 / W|(2x² - 4)

Hierbei ist v'(w) = 4w die innere Ableitung der Funktion u(v(w)) = 2w² - 4, welche wiederum die innere Funktion von t(u) ist. Im Grunde muss also die äußerste Funktion t(u) mit zwei Faktoren multipliziert werden, nämlich mit u'(v) und v'(w). Daraus ergibt sich dann f'(x). Weiter ausgerechnet erhält man hier:

f'(x) = 8x / W|(2x² - 4)


Sehr häufig wird auch nach der Kombination verschiedener Regeln verlangt. Im folgenden Beispiel muss man sowohl die Kettenregel als auch die Produktregel verwenden.

f(x) = 3x * ln(3x + 5)

Hierbei muss nun erstmal getrennt werden zwischen t(x) = 3x und u(x) = ln(3x + 5). Im Bezug auf die Kettenregel betrachten wir zuerst ausschließlich letztere Funktion.

u(x) = ln(3x + 5)

äußere Funktion und deren Ableitung:
a(b) = ln(b)
a'(b) = 1 / b

innere Funktion und deren Ableitung:
b(c) = 3c + 5
b'(c) = 3

Daraus folgt:

u'(x) = 3 * 1 / (3x + 5)
u'(x) = 3 / (3x + 5)

Nun muss lediglich noch die Produktregel angewandt werden. Zur Erinnerung:
f(x) = t(x) * u(x)
f'(x) = t'(x) * u(x) + t(x) * u'(x)

Somit ist die Lösung des gesamten Beispiels:

f'(x) = 3 * ln(3x + 5) + 3x * 3 / (3x + 5)
f'(x) = 3ln(3x + 5) + 9x / (3x + 5)

Hier wurde nun also zuerst die Kettenregel für den entsprechenden Teil der Funktion verwendet. Anschließend konnte man dann mit diesen Ergebnissen auch ohne Probleme die komplette Funktion unter Beachtung der Produktregel ableiten.

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Produktintegration Integralnullstellen