Ableitungen - Beispiele

Ableitungen benötigt man u.a. zur Berechnung von Hoch- Tiefpunkten sowie Wendepunkten und Funktionssteigungen.

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Eine Ableitung lässt sich wie folgt berechnen:

Gegeben sei die f(x) = x^n

Im ersten Schritt rutscht der Exponent (^n) vor die Basis --> n* x

Der neue Exponent ist um den Faktor 1 kleiner als der Exponent der Ursprungsfunktion --> n * x^n-1.

Ein Beispiel:

x^2 --> 2x

x^5 --> 5x^4

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Ist in der Urfunktion die Basis teil eines Produkt, so multipliziert man dieses mit dem Exponenten.

Bsp. yx^5 -->(5*y)x^4

4x^5 -->20x^4

3x^2 --> 6x

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Wenn die Funktion selbst ein Produkt darstellt wendet man die Produktregel an.

f(x)= g1(x) * g2(x)

f´(x) = g1´* g2 + g1 * g2´

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Wenn die Funktion ein Bruch ist gilt die Quotientenregel

f(x) = g1(x) / g2(x)

f´(x)= g1´* g2-g1 * g2´/g2^2

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Sollte es sich um eine Summe handeln so gilt die Summenregel

f(x)= g1 + g2

f´(x) = g1´+ g2´

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Besondere Ableitungen:

f(x)= sin(x) --> f´(x)= cos (x)

f(x)= cos(x) --> f´(x) = - sin (x)

f(x)= e^x --> f´(x) = e^x

--> Die Exponentialfunktion ergibt abgeleitet immer wieder die Urfunktion, dies hängt damit zusammen das die e-Funtkion an der entsprechenden Stelle ihre eigene Steigung angibt

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Zusammenfassung der wichtigsten Ableitungen

f(x)	f´(x)
a	0
x^n n Element aus R (ausser 0)	n * x^n-1
x^1/2 (Wurzel aus x)	-1/x^2

ln(x)	1 / x
sin(x)	cos(x)

cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1 / cos²*x

e^x

e^x

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