Leitfaden Kurvendiskussion
Ablauf einer Kurvendiskussion |
Mathematisch gesehen ist die Kurvendiskussion ein Überbegriff für die Untersuchung einer Funktion auf
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Untersuchung auf Nullstellen
Eine Nullstelle ist immer dann gegeben wenn eine Funktion einem Wert den Funktionswert 0 erreicht.
f(x)=0
Bei Funktionen ersten Grades errechnet man diese durch Äquivalenzumformung:
f(x)= 11x+5
--> -11x=5
x= -04545....
Bei Funktionen zweiten Grades kann man die p-q-Formel nutzen.
f(x)=x²+3x+2
Daher: -3/2 +/- 0,5
X1=-2 x2=-1
Bei Funktionen 3. oder höheren Grades kann es schon problematisch werden.
Mitunter benutzt man hier das Gausche-Lösungsschema
oder das Newtonsche Näherungsverfahren
Generell gilt jedoch das Funktionen maximal so viele Nullstellen haben wie ihr Rang ist.
Hoch- und Tiefpunkte
Ein Hochpunkt zum Beispiel liegt immer dann vor wenn neben der betrachteten Stelle alle anderen Werte niedriger sind und an der Stelle selbst die Steigung Null ist, es muss jedoch noch geprüft werden ob es sich nicht um einen Sattelpunkt handelt.
In diesem Zusammenhand spricht man immer von einer notwendigen und hinreichenden Bedingung.
Notwendige Bedingung:
f´(x)=0
Bedeutet es könnte an der entsprechende Stelle ein Hoch- Tiefpunkt vorliegen, es kann aber auch ein Sattelpunkt sein, ferner ist ja noch unbekannt ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
Hat man die Kandidaten aus der notwendigen Bedingung ermittelt setzt man diese in die endgültige Untersuchung
hinreichende Bedingung ein:
Man setzt dazu die Kandidaten in die 2.Ableitung ein und schaut ob der Funktionswert dadurch pos. oder neg. ausfällt.
f``(x)= > 0 -->Tiefpunkt
f´´(x)= < 0 --> Hochpunkt
Dies liegt daran das bei einem Tiefpunkt die Steigung positiv ist und bei einem Hochpunkt negativ
Ist die 2.Ableitung f´´(x)=0 so liegt ein Sattelpunkt vor.
Um die endgültigen Koordinaten eines Hoch- Tiefpunktes zu ermitteln setzt an nur noch die entsprechenden X-Werte in die Urfunktion ein und ermittelt somit die Y-Werte.
Sattelpunkte
Ein Sattelpunkt liegt immer dann vor wenn die ersten drei* Ableitungen =0 ergeben.
Es können auch mehr als drei Ableitungen sein in diesem Falle gilt
ist die Ableitungen ungerade (3,5,7,9) und ergibt =0 so liegt ein Sattelpunkt vor.
Wendepunkte
Bei Wendepunkte wendet die Funktion ihre Krümmung, an den entsprechenden Stelle hat sie entweder einen minimale oder maximale Steigung, demzufolge muss in der ersten Ableitung (die die Steigung der Urfunktion beschreibt) also ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.
Logischerweise ist das Schemata fast das gleich wie die Untersuchung der Urfunktion auf Hoch- Tiefpunkte, bis auf das hier die erste Ableitung auf diese untersucht wird.
Daher wieder die hineichende und notwendige Bedingung:
notwendige Bedingung= f´´(x)=0
hinreichende Bedingung= f´´´(x) ungleich 0
Schnittpunkt mit der Y-Achse ist immer der Wert der sich bei einsetzen von X=0 ergibt
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